| pikomat |  |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tým, že sme začali modrou a skončili bielou korálkou, a že prvá skupina modrých je najväčšia, sme vylúčili možnosť vypísať ten istý náramok viac krát (otočený). Avšak niektoré náramky sú tam predsa len dva krát. Sú to tie, ktoré sú prečiarknuté. Do páru k nim patria podčiarknuté náramky. Tieto sú zrkadlovo prevrátené. (3412 je rovnaký s 3214, 3511 s 3115, 2521 s 2125, 2422 s 2224, 231211 s 211213, 231112 s 221113 a 221311 s 211312). Ostáva 16 rôznych náramkov bez uzáveru. Príklad M5: (opravovala Danica) Toto sú všetky možnosti rozdelenia manéže. Za prvé dve je 1,2b, za akékoľvek ďalšie 1,3b. Za ľubovoľné štyri správne je 5b.
Príklad M6:(opravovala Lenka Gažová) Každé 3-ciferné číslo môžeme zapísať ako ABC, kde A, B, C sú jeho cifry. Pre nesymetrické čísla musí platiť: na mieste A môže byť 9 cifier (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), na mieste B všetkých 10 cifier (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) a na mieste C len 9 cifier (z cifier 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vynecháme tú, ktorá je na mieste A, lebo inak by sme dostali symetrické číslo). Takže všetkých nesymetrických čísiel je 9.10.9=810. Príklad M7: (opravovala Alenka Kovárová) Stačilo si vypísať prvých niekoľko najmenších čísel (205789, 205798, 205879, 205897, 205978, 205987, 207589,...) a potom s nádejou zisťujem, či dávajú po delení 5 zvyšok 2. To prvé najmenšie dáva zvyšok 4, to potom 3, to potom 4 a to potom 2. Huráá. Čiže číslo 205897 je najmenšie číslo vyhovujúce zadaniu, lebo všetky menšie nevyhovujú. Príklad M8: (opravoval Martin MH Hriňák) Úloha sa dala najjednoduchšie riešiť tak, že sme si vypísali 9 najmenších a 3 najväčšie štvorciferné čísla deliteľné jedenástimi a vyskúšali podmienky zo zadania. Vyšlo nám potom, že najmenšie vyhovujúce číslo je 1089 a najväčšie je 9977. Komentár: Úloha bola jednoduchá. Za vyskúšanie vyššie spomenutých možností bolo 5b. Ak ste na nejakú zabudli alebo povedali, že to tak bude aj pre ostatné, som strhával po 0,1b za každý neoverený prípad. Za každú správnu odpoveď bolo po jednom bode. Za skúšku, že spĺňajú podmienky zo zadania, bolo 0,2b , a ak boli overené obidve, tak 0,5b. Za náznak postupu bolo 0,5b. Ak niektorý výsledok chýbal, dalo sa získať maximálne 2,5b. Príklad M9: (opravoval Ivo Masaryk) Skúsme najskôr vyriešiť úlohu pre jednu kôpku. Ľahko zistíme, že ak niekto začína ťahať z kôpky na ktorej je 0,5,10,... typu (5k) kamienkov, tak prehrá ak ten druhý bude doťahovať znovu do takejto pozície, čo sa vždy dá. Ak však skúmame dve kôpky, zistíme, že ak je na kôpkach rovnaký počet kamienkov, (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),... typu (N, N) kamienkov. tak ten lev, ktorý je na ťahu znova prehrá, lebo ten druhý môže znovu dotiahnuť na túto pozíciu (potiahne z druhej kopy rovnaký počet kamienkov). Pozícia (0,0) je určite prehrávajúca, lebo lev ktorý ťahal pred touto pozíciou potiahol posledný kameň. Ak spojíme tieto postrehy zistíme, že pozícia typu (N + 0, N + 5k), alebo (N + 5k, N + 0) kde (N, k) sú ľubovoľné celé nezáporné čísla(0, 1, 2, 3, ...), je tiež prehrávajúca napr. (8, 23) je (8 + 0, 8 + 15) a po ľubovolnom ťahu sa dá dotiahnuť na taký istý typ pozície a ( 0 + 0, 0 + 5.0) je prehrávajúca. Pozícia je prehrávajúca vtedy, ak rozdiel počtu kamienkov na kôpkach je deliteľný 5, napr.(101, 86) alebo (97, 87). Teda Malý Lev môže vyhrať ak začína, a to tak, že potiahne buď 1 kamienok z menšej, alebo 4 z väčšej kopy a potom doťahuje buď z opačnej kopy rovnako, alebo z tej istej do súčtu 5. Ak začína Veľký Lev (hrá najlepšie ako sa len dá, teda podľa hore uvedenej stratégie) tak aj vyhrá. Príklad M10: (opravoval Palyno Kováč) Zoberme si počet mincí, ktorý mali kengury ráno a označme ho x. Teraz si označme štyri časové okamihy : tv – večer, t1 – po prvom kradnutí, t2 – po druhom kradnutí a t3 – po treťom kradnutí, čiže ráno. Vieme, že v čase t3 mali všetky tri kengury rovnaký počet mincí, to je x. Poďme teraz počítať odzadu, čiže od času t3:
Teraz už vieme, aký majú kengury počet mincí vzhľadom na počet ráno. Treba ale ešte určiť, aký tento počet môže byť. Je zrejmé, že počet mincí ráno musí byť aspoň 16, lebo Kengurička ráno ukradne práve 16 mincí. Ale treba sa ešte presvedčiť, či každá kengura má aspoň toľko mincí, koľko jej ukradnú. Keď si všimnete Kenguričku, tak zistíte, že musí mať aspoň 14 mincí večer, lebo najprv jej Kengura ukradne 10 mincí a hneď na to Kengurka 4 mince. Teraz keď si dosadíme do vzťahu číslo 14 za Kenguričku, vyjde nám x=16 a trojica čísel 8, 26, 14 (Kengura, Kengurka, Kengurička). Keď si prezrieme priebeh takejto noci (8,26,14)à(28,16,4)à(24,24,0)à(16,16,16), tak vidíme, že je všetko v poriadku. Teda môžeme spokojne vyhlásiť, že počet mincí u každej kengury ráno je aspoň 16. (Ďalšie riešenia sú napr. [9, 27, 15] , [10, 28, 16],…). Príklad M11: (opravovala Dáša Horáková) Vieme, že stôl meral viac ako 120 cm a menej ako 150 cm. Ďalej vieme, že jeho dĺžka (označme si ju d), ale aj dĺžky pera a ceruzky sa dajú vyjadriť v celých centimetroch. Dĺžku stola môžeme vyjadriť aj ako dĺžku 12 pier a teda dĺžka stola d musí byť bezo zvyšku deliteľná 12. Podobne dĺžku stola môžeme vyjadriť aj ako dĺžku 8 ceruziek a teda dĺžka stola d musí byť bezo zvyšku deliteľná aj 8. A teda naša úloha sa zjednodušila na nájdenie čísla medzi číslami 121 a 149, ktoré by bolo súčasne deliteľné 8 aj 12. A to sa dá robiť rôzne. Napr. tak, že nájdeme čísla deliteľné číslom 12 v tomto intervale, to sú čísla 132 a 144 a tie skúsime vydeliť číslom 8. Číslom 8 je deliteľné len číslo 144. Je teda jediným číslom, ktoré je súčasne deliteľné 8 aj 12 a je väčšie ako 120 a menšie ako 150 cm. Stôl meria 144 cm, teda ceruzka meria 144:8=18 cm a pero 144:12=12 cm. Za správne riešenie bolo 5 bodov, keď vám chýbala nejaká drobnosť v postupe 4,5 bodu, za uvedenie správneho výsledku, ale bez postupu a vysvetlenia, 2 body. Príklad M12: (opravovala Miša Áčová) Najprv si uvedomme jednu z vlastností rovnostranných trojuholníkov. Platí, že pomer strany a výšky (ľubovoľnej, keďže sú všetky rovnako dlhé) je vždy rovnaký. Overíme si to nasledovným výpočtom: 
Strana v trojuholníku nech má dĺžku a. Potom výška v rozdeľuje stranu a na dve rovnaké časti s dĺžkou a / 2. Veľkosť výšky vypočítame pomocou Pytagorovej vety z pravouhlého trojuholníka s preponami v, a / 2 a odvesnou a: a2 = (a / 2)2 + v2 Z tohto vzťahu vyberieme v a postupne upravíme: Takže pomer strany a a výšky v v rovnostrannom trojuholníku je vždy a / (√3 / 2 a) = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3, teda a : v = 2 : √3. Zostáva nám teda už len rozdeliť úsečku v pomere 2 : √3 a získame tak stranu a výšku hľadaného trojuholníka. Ako to urobíme? Využijeme podobnosť trojuholníkov. Najprv si musíme narysovať úsečku XY, ktorá bude mať dĺžku 2 + √3 a vyznačíme si na nej bod D, ktorý ju rozdelí v pomere 2 : √3. Najprv Narysujeme polpriamku XD, pričom bod D bude vo vzdialenosti 2 cm od bodu D. Bod Y bude vzdialený od bodu D ešte √3 cm. Ako túto vzdialenosť narysujeme? Využijeme opäť Pytagorovu vetu. a2 + b2 = c2 (hľadáme také a, b, c aby jedno z nich malo dĺžku √3 a ostatné boli celé čísla, napríklad:) 12 + √32 = 22, 1 + 3 = 4 Teda potrebujeme narysovať pravouhlý trojuholník s odvesnou 1 cm a preponou 2 cm, potom druhá odvesna bude mať presne √3 cm(obr. 2). Keď sme už narysovali túto dĺžku, môžeme ju preniesť na polpriamku XD a vyznačiť bod Y. Teraz príde na rad spomínaná podobnosť. Narysujeme si úsečku AB tak, aby mala danú dĺžku (t.j. 10 cm) a bod X bol zároveň bodom A. Úsečky AB a XY sa teda budú pretínať v bode A a budú zvierať uhol, ktorý nebude 0º ani 180º. Keď vytvoríme úsečku BY, vznikne nám trojuholník ABY. My teraz hľadáme bod W, ktorý rozdelí AB v pomere 2 : √3. Tvrdíme, že tento bod bude ležať na úsečke AB a na priamke, ktorá je rovnobežná s BY a prechádza bodom D (obr. 3). Keď vytvoríme túto priamku, je jasné, že trojuholníky ABY a ADW sú podobné, lebo majú všetky zodpovedajúce uhly zhodné. Platí, že zodpovedajúce strany sú v rovnakom pomere a teda |AW| : |WB| = |XD| : |DY|. Takže posledným krokom je zostrojenie rovnostranného trojuholníka so stranou dĺžky |AW| (obr. 4). Tu je celý popis konštrukcie: 
časť I – pomocný pravouhlý trojuholník 
časť II – rozdelenie AB v pomere 2:√3 
časť III – konštrukcia hľadaného rovnostranného
trojuholníka | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
Má to však jeden háčik. V tomto počte sú zahrnuté aj zrkadlovo obrátené
náramky (je tam aj náramok MMMBBBBMBB aj náramok BBMBBBBMMM), ktoré sú
vskutočnosti rovnaké. Takže počet náramkov budeme musieť deliť dvoma. A
tu narazíme na poslednú zákernosť úlohy: sú náramky, ktoré sú zrkadlové
samé so sebou (symetrické), a tie sú v počte 210 zahrnuté len raz. (Napr.
MBBMB|BMBBM.) Keby sme aj ich počet delili dvoma, bude každý z nich započítaný
iba 0,5 krát. Preto teraz zistíme, koľko je symetrických náramkov. Tento
počet pripočítame k 210 (takže každý náramok tam bude 2 krát) a výsledok
vydelíme dvoma – to bude riešenie tejto časti úlohy. Teraz koľko je
symetrických náramkov? Symetrický náramok musí mať z prvých 5 koráliek
2 modré a 3 biele. Podľa toho, ako je rozložených týchto 5 koráliek, je
potom už len jedna možnosť ako rozložiť zvyšné. Takže symetrických náramkov
je 
.
A teda rôznych náramkov s uzáverom je 
.