Príklad S1: opravoval Peter Mitec Miťko

V tejto úlohe bolo podstatné zúžiť okruh skúšaných možností na čo najmenej a teda v prvom rade určiť, prečo hrali práve 3 kolá. Myšlienka spočívala v tom, že v hre boli stále iba tie 3 karty a teda počas 1 kola musel byť ich súčet nemenný (menili iba majiteľov). Potom ale celkový počet bodov na konci hry (12+13+26=51), vydelený tým súčtom, dáva počet kôl. Aj čísla kariet, aj počet kôl sú prirodzené čísla a sú preto deliteľmi 51 (prvočíselný rozklad). Sú to teda: 1,3,17,51. Minimálny súčet kariet je 1+2+3=6 a maximálny 7+8+9=24. Súčet kariet v 1 kole je potom určite iba 17 a hrali určite 3 kolá. Teraz bolo viacero možností riešenia: buď ste si zistili, že najväčšia karta musí byť 9 alebo 10 (8+8+7=23), ak majú vôbec dávať súčet Martinových kariet. Dostali ste 4 možnosti: 10,10,6, 10,9,7, 10,8,8, 9,9,8. Z toho, že kolá sú 3 a Mišo dostal v poslednom kole najväčšiu kartu, ste zistili tretie číslo a ak dávali súčet 17, boli to určite ony. Správna možnosť bola iba 10,6,1. Druhá možnosť riešenia bola vypísať si všetky možné súčty 17: 10,6,1, 10,5,2, 10,4,3, 9,7,1, 9,6,2, 9,5,3, 8,7,2, 8,6,3, 8,5,4, 7,6,4 (bolo ich 10). Potom stačilo vylučovacou metódou "musia sedieť aj ostatné súčty" určiť, že to boli iba karty 10,6,1. Veľmi pekná úvaha bola zistiť, prečo každý z bratov musel dostať počas 3 kôl prave 2-krát tú istú kartu (3-krát nemohli, lebo Mišo mal 1 najväčšiu a vždy inú tiež nie, potom by predsa ich súčty bol 17). Doriešiť ste to mohli napr. spôsobom 3 rovnice o 3 neznámych. Správna odpoveď teda bola: Peter dostal v 1. kole strednú kartu.

Bodovanie: prečo hrali 3 kolá cez delitele: max 2,1 b, za každý chýbajúci deliteľ - 0,1 b, Za peknú uváhu prečo 10,6,1: 0,9 b a ak ste si povedali bez zdôvodnenia, že 10 je najväčšia karta: -0,6 b. Za správnu odpoveď: 0,2 b, za správny priebeh hry: 0,8 b. Za chýbajúce, či nesprávne možnosti (ak ste ich už vypísali): - 0,1 b, ak ste začali 10 a ostatné možnosti nevylúčuli - 0,2 b až - 0,3 b.

Príklad S2: opravoval Drát(ik) Peter Drábik

Pre hľadané 3-cif. čísla platí:
A+B+C = pč (pč = prvočíslo)
A.B.C = n³ (n = prirodzené číslo)
najväčšia číslica je 9 ⇒ n³=maximálne 9.9.9 a pč je max. 23 (9+9+9=27, ale to nie je pč, najbližšie menšie pč je 23)

Z možností prichádzajúcih do úvahy je najväčšie 964. ⇒ ABC = 964.
Pre hľadané 4-cif. čísla platí:
A+B+C+D = pč
A.B.C.D = n⁴ (n = prirodzené číslo)
najväčšia číslica je 9 (n⁴ = maximálne 9.9.9.9 a pč = max. 31 (9+9+9+9=36, a najbližšie menšie pč je 31))
Zo štyroch číslic môžeme utvoriť viacero rôznych štvoríc, ale cif. súčet ani súčin sa nemení.
Preto sme vybrali tie najväčšie z možných kombinácií.

Z týchto možností nevyhovuje ani jedna, lebo neplatí A+B+C+D = pč.
Neexistuje také ABCD.
Michal sa snažil nájsť 3-cif. číslo 964 a 4-cif. číslo, ktoré neexistuje.
A ešte čosi k tabuľkám: prečo sme rátali len po 9? Lebo ciferný súčin 3-ciferného, resp. 4-ciferného je maximálne 9³, resp. 9⁴.

Bodovanie: Trojciferné: spolu 2,5b: z toho za výsledok 0,5b. Štvorciferné: spolu 2,5b: z toho za výsledok 0.5b.
Za dobrú úvahu, ale ak si 0 považoval za prirodzené číslo tak celkovo 0,5b + 0,5b.

Príklad S3: opravoval Martin Malic Handlovič

Označíme si žiakov ako A, B, C, D, E. Keďže každý žiak má iné číslo, tak si môžeme povedať, že A>B>C>D>E. Päticu s najmenším súčtom nájdeme tak, že postupne zistíme, aké najmenšie môže byť E. Tu si pomôžeme malou tabuľkou "víťazných dvojíc"(v tabuľke číslo vľavo označuje E a čísla vpravo označujú všetky čísla s ktorými je podiel súčtu a rozdielu celé číslo.).
1 - 2,3
2 - 1,3,4,6
3 - 1,2,4,5,6,9
4 - 2,3,5,6,8,12
5 - 3,4,6,7,10,15
6 - 2,3,4,5,7,8,9,10,12,18
7 - 5,6,8,9,14,21
Takže ak by E=1, tak je málo vítazných dvojíc. Potrebujeme ich aspoň 4. Jednotku môžme teda vylúčuť. Ak by E=2, tak nám opať neostanú aspoň 4 dvojice. 2 vypadáva. Ak by E=3, tak máme päticu 3,4,5,6,9, ale 5 a 9 nevyhrajú. teda 3 vypadáva. Ak by E=4, tak nám ostane pätica 4,5,6,8,12, ale 5 a 8 nevyhrajú, teda aj 4 vypadáva. Ak by E=5, tak máme päticu 5,6,7,10,15, ale 10 a 7 nevyhrajú. Aj 5 vypadáva. Ak E=6, tak nám ostane sedmica 6,7,8,9,10,12,18, ale 18 nevyhrá s 10,8,7, teda vypadáva. Podobne 7 nevyhrá s 10,12,18 a tiež vypadáva. Ostane nám pätica 6,8,9,10,12 a ľahko si aj sami overíte, že všetko skutočne sedí. A má súčet 45. A teraz ešte ukážeme, že je skutočne tá s najmenším súčtom. E nemôže byť menej ako 6, ani 6 a tak ak by mala byť nejaká pätica s menším súčtom ako 45, tak E musí byť aspoň 7. Lenže už 7,8,9,10,11 dáva súčet 45 a ostatné pätice, nemusia byť ani neprehrávajúce, budú dávať súčet aspoň 45 a teda 6,8,9,10,12 je riešením. HURÁ!!!

Komentár: Viacerí ste rátali s nulou ako prirodzeným číslom. Lenže nula nie je prirodzené číslo. No a ešte viac z Vás neoverilo, že 6,8,9,10,12 je skutočne najmenší súčet.

Bodovanie: Za výsledok bolo 0,5 boda, za overenie 0,5 boda, za postup riešenia od 0 do 1,5 boda, za zdôvodnenia od 0 do 2 body a za overenie, že je to skutočne najmenší sučet bolo 0,5 boda. Tí čo rátali s nulou ako prirodzeným číslom, tak majú od 0 do 1 boda podľa kvality riešenia.

Príklad S4: opravovala Alenka Kovárová

Najskôr si zopakujeme, že obsah trojholníka je a.v_a/2, kde a je jedna zo strán trojuholníka a v_a je kolmá na a (na tú kolmosť niektorí z vás pozabudli). Obsah rovnobežníka je x.v_x, kde x je jedna jeho strana a v_x výška na túto stranu. Tieto dva vzťahy budem využívať. Pri čítaní si kreslite obrázky zobrazujúce text, aby ste ho ľahšie pochopili.
Kôl K nemôže byť ani jeden z kolov na strane AD ani na strane CD, lebo raz by neexistoval trojuholník ADS a druhýkrát CDK. Ak by K bol na AB, tak potom by trojuholník CDK zaberal polovicu obsahu z rovnobežníka ABCD (pretože majú rovnaké základne aj výšky) a keby mal mať ADS 4-krát väčší obsah, musel by byť 2-krát väčší ako samotný ABCD, čo je nezmysel, keďže S je vnútri ABCD. Takže K je jeden z piatich vnútorných kolov na strane BC. Nech si vyberiem ktorýkoľvek z týchto kolov, tak trojuholník S_ADK = 1/2 S_ABCD (pretože opäť majú rovnaké základne aj výšky) a pretože S_ADK = S_ADS + S_ASK, tak S_ADS ≤ S_ADK = 1/2 S_ABCD. Takže z toho potom vieme aj, že S_CDK = 1/2 S_ADS ≤ 1/8 S_ABCD, teda výška trojuholníka CDK môže byť najviac osmina z výšky rovnobežníka. ABCD (to kvôli tomu, že CDK a ABCD majú rovnakú základňu - stranu CD). Túto podmienku spĺňa len kôl, ktorý je najbližšie k bodu C na strane BC, jeho výška je 1/6 z výšky rovnobežník ABCD. Bod S je potom niekde na úsečke DK, ľahko sa dá vypočítať, že v jej dvoch tretinách.

Bodovanie:K nepatrí AD 0,5 b, K nepatrí CD 0,5 b, K nepatrí AB 1 b, nájdenie správneho K 1 b, odôvodnenie správnosti K 2 b.

Príklad S5: opravoval Peter Comp Ambrož

Správny počet možností je 57. Príklad sa dal riešiť rôznymi metódami, no ja som zvolil metódu vypisovaním si všetkých možností. Celý problém si rozdelíme na 3 základné skupiny: 1. Kocky jednofarebné, 2. Kocky dvojfarebné, 3. Kocky, kde sú použité všetky tri farby. V prvej skupine je to jednoduché: Máme k dispozícií 3 farby, a teda aj možnosti tu budú len 3 (celá kocka Hráškovozelená, alebo Bordová, alebo Žltá). Pri 2-farebných je to o niečo viac. Môžeme totiž zvoliť 3 metódy rozmiestnenia tých dvoch farieb. A) 1+5 → 1 stena prvej farby a zvyšných 5 stien druhej farby. Možnosti 1Ž+5B, 1B+5Ž, 1Ž+5HZ, 1HZ+5Ž, 1B+5HZ, 1HZ+5B. Teda máme 6 možností. B) 2+4 → 2Ž+4B, 2B+4Ž, 2Ž+4HZ, 2HZ+4Ž, 2HZ+4B, 2B+4HZ. To by bolo tiež 6 možností, ale pozor, je ich 2x viac, lebo tie dve steny môžu byť buď susediace (1 spoločná hrana), alebo oproti ležiace (žiadna spoločná hrana). Teda 12 možností. C) 3+3 -> 3B+3Ž, 3Ž+3HZ, 3B+3HZ. Samozrejme x2, lebo 3 zhodné farby môžu byť vedľa seba (t.j. v páse), alebo "v rohu" (majú spoločný roh). 6 možností dohromady.
Takže pre 2-farebné kocky máme 6 + 12 + 6 = 24 možností. U trojfarebných kociek je to nasledovne: A) 4+1+1 → teda 4x jedna farba, 1x druhá farba a 1x tretia farba. Počet možností je obdobný ako pri podmnožine 4+2, lebo zase môžu byť tie 2 (1+1) vedľa seba, alebo oproti sebe. 6 možností. B) 3+2+1 → 3B+2Ž+1HZ, 3B+2HZ+1Ž, 3Ž+2B+1HZ, 3Ž+2HZ+1B, 3HZ+2Ž+1B, 3HZ+2B+1Ž. Pre každý spôsob existujú 3 uloženia. Pre jednoduchosť označím ako A farbu, ktorá sa vyskytuje 3x, farbu, ktorá sa vyskytuje 2x označím B, a tú zvyšnú C. Teraz buď budú všetky A "v rohu" (a teda aj B a C v rohu opačnom), alebo B-C-B "v páse", alebo C-B-B "v páse". Takže 6*3=18 možností. C) 2+2+2 -> 6 možností: 1. Všetky 3 dvojice rovnakých farieb ležia oproti sebe. 2,3,4. Jedna dvojica leží oproti sebe a zvyšné 2 vedľa seba. Tá dvojica môže byť v troch rôznych farbách. 5. Všetky tri dvojice ležiace vedľa seba. 6. Toto bol kameň úrazu väčšiny riešení. Veľa z vás nenašlo práve túto 6.možnosť. Je to vlastne tak ako v 5. ale zrkadlovo. Teda pre 3-farebné kocky máme 6 + 18 + 6 = 30 možností.
Keď spočítame 3+24+30, vyjde 57 a to je správne riešenie.

5 bodov dostali tí, čo mali správne riešenie, a jasne vysvetlený postup, ktorý ich k výsledku zaviedol. Všeobecne ste mohli body získať za postup max.4 a za odpoveď/resp. výsledok 1b Ak ste našli menej/viac ako 57 riešení, strhával som body nasledovne: +/- 4 rieš. 0,3b dolu. +/-12 r. 0,5b dolu. +/- 24 r. 1b dolu, prinajhoršom 1,3b dolu. 1b za odpoveď som dal, ak ste napísali, že žiak nemal pravdu, a koľko kociek sa dá nájsť. Ak chýbal počet kociek, bola odpoveď len za 0,5b.

Príklad S6: opravoval Michal Priky Prikler

Treba si uvedomiť, že čím viac motoriek máme na trati, tým menšiu dráhu prejdú. Čiže, ide nám o to, aby sa počet motoriek postupne znižoval (stačí, ak "do cieľa" dojde len jedna) a aby sa využil všetok benzín, čo najefektívnejšie. Najlepšie teda bude, keď jedna motorka skončí a z nej sa prečerpá zvyšný benzín do ostatných motoriek a to tak, aby v nich bola nádrž plná! Teda prvé prečerpávanie bude, keď pretekári spotrbujú 1/5-nu nádrže = 2l. Vtedy sa z jednej motorky doplnia nádrže zvyšných motoriek "do plna" a tá jedna už je vonku. Doteraz prešli dráhu 50 km. Ďalšie prečerpávanie bude, keď spotrebujú 1/4-nu nádrže = 2,5l, t.j 62,5 km. Vtedy sa "odstavuje" ďalšia motorka a na trati nám už ostávajú len 3 s plnými nádržami. Po minutí tretiny nádrže (83 1/3 km) motorky opäť prečerpajú benzín a ostanú nám už len 2. A posledné prečerpávanie bude, keď tie dve minú polovicu nádrže a prejdú 125 km. Vtedy nám na trati ostane už len jedna motorka s plnou nádržou, ktorá ešte prejde 250 km. A koľko teda prešla tá jedna motorka? Sčítam všetky úseky, ktoré motorky prešli, pretože "víťaz" bol na trati stále. Teda ak tím pozostáva z 5 členov, "víťaz" prejde 50 km + 62,5 km + 83 1/3 km + 125 km + 250 km = 570 5/6 km. Ak by v tíme bolo 10 pretekárov, postupovali by sme úplne rovnako a vyšlo by nám, že víťazi by boli prešli 732 61/252 km.

3b za taktiku a presný opis postupu prečerpávania; 2b za oba správne výsledky.