Vzorové riešenia 3. série letnej časti Pikofyzu 2002/2003  

organizátor korešpondenčných seminárov
podporuje odborný rast organizátorov seminára
, 5. ročník šk. rok 2002/2003

Vzorové riešenia 3. série letnej časti

Príklad M 3.1 ♥ 7, 8, 9, T, K - Balónik (opravoval Jakub Kubus Závodný)

Keď balónik nafukujeme, vzduch z fľaše uniká cez trubičku B a je tam rovnaký tlak ako vonku. Zato vzduch v balóniku má väčší tlak, pretože musí prekonávať aj sťahovaciu silu balóniku a nemá kam unikať. Keď zapcháme B a otvoríme A, tlak v balóniku sa rýchlo vyrovná s okolitým tlakom, a teda sa zmenší. Preto sa balónik začne zmenšovať - vyfukovať. Objem vzduchu vo fľaši mimo balónika zatiaľ stúpa a jeho tlak musí klesať. Pôsobí preto na balónik menšou silou ako vzduch zvonka fľaše (teda zvnútra balóniku). Balónik sa bude zmenšovať až dovtedy, pokiaľ nebude tento rozdiel síl dostatočne veľký na prekonanie sily balóniku. Ak nebolo pôvodne vo fľaši veľa vzduchu, stačí, aby sa balónik sfúkol iba trochu a podtlak vo fľaši bude dostatočne veľký na prekonanie sily balóniku. Mnohí ste zabúdali práve na silu balóniku a hovorili ste, že tam bude podtlak, ale keby sme balónik nahradili napríklad sáčkom, žiaden podtlak by nevznikol! Ďalšou častou chybou bolo uvažovanie nestlačiteľnosti vzduchu.

Bodovanie: 2 body za vysvetlenie, 1 bod za popísanie javu, 2 body za základnú myšlienku, -1 bod za nespomenutie sily balóniku a iné chyby podľa závažnosti.

Príklad M 3.2 ♥ 8, 9 - Čaj (opravoval Paľo DK Dravecký)

Aj keď sa tento jav istotne zdal mnohým z vás zvláštny, rozlúsknutie jeho záhadnosti je vcelku jednoduché. Keď mám šálku horúceho čaju, chcem, aby vydržal čo najdlhšie teplučký. Aby mi vyšli v ústrety, hrnčiari vyrábajú hrnčeky z materiálov, ktoré tepelne izolujú, teda ťažko vedú teplo. Inými slovami, dlho trvá, kým sa teplo z jednej strany materiálu dostane na druhý. Zoberme si teda náš problém. Nalejeme horúci čaj do studenej šálky. Tá sa po chvíli zohreje na teplotu (trocha ochladeného) čaju. Čaj pekne chladne jednak tým, že uniká teplo vrchom cez hladinu a jednak tým, že sa odparuje a teda odovzdáva energiu na vytvorenie pary. Ale hrnčeku chladnúť trvá oveľa dlhšie nielen preto, lebo sa neodparuje, ale hlavne kvôli jeho zlej tepelnej vodivosti. Trvá veľmi dlho, kým sa "chlad" z čaju dostane až na vonkajšok hrnčeka (kde skúšame, či je teplý alebo studený). Hrnček nemôže odovzdávať svoje teplo ani vzduchu, lebo aj ten je vynikajúci izolant. A tak, ešte značnú chvíľu po tom, ako čaj vychladne, ostane hrnček teplý.

Ešte pre tých, ktorí tento jav zdôvodňovali tepelnou kapacitou - tepelná kapacita porcelánu je asi štyrikrát menšia ako tepelná kapacita čaju...

Bodovanie: Dával som do dvoch bodov za rozumné úvahy podložené nejakou teóriou, 1,5 bodu ak ste povedali, že kvôli niečomu hrnček udržuje teplo a 1,5 bodu za spoznanie šálky ako tepelnej izolantky.

Príklad V 3.3 ♥ 7, T - Vodný pavúk (opravoval Pavol PC Cvik)

Ako ste mnohí správne zistili, tento príklad bol chyták. Tlaková sila pôsobiaca na podpery sa naozaj nezmení. Pretože jediná sila, ktorá na podpery pôsobí je gravitačná sila akvária a jeho obsahu. Akvárium je uzavreté teleso a preto, keď sa zmení jeho vnútorné usporiadania, tak sa nezmení hmotnosť akvária a tým pádom sa nezmení ani gravitačná sila, ktorou je akvárium tlačené dolu a teda sa nezmení ani tlaková sila pôsobiaca na podpery.

Bodovanie: za výsledok 1b, za jeho zdôvodnenie max 4b. Za zlé výsledky max 1,5b.

Príklad E 3.4 ♥ 7, 8, 9, T, K - Koľko vody sa zmestí do svetra? (opravoval Michal Frankie Hanula)

Zobral som 3 vzorky látky (hrubé plátno, flanel, bavlnené tričko) a 3 vzorky papiera (servítka (jedna vrstva), ružový kancelársky, potlačený, lesklý potlačený (leták jedného mobilného operátora)). Z každého som vystrihol 3 krúžky s priemerom 8,5cm (podľa hrnčeka). Vzorky som ponáral do valcovej nádoby s vodou a meral som pokles hladiny (keby som mal digitálne váhy, vážil by som.) Hladinu som meral posuvným meradlom. Hubku som meral len raz, pretože som nemal dosť vzoriek (preto nemám odchýlku).

U látok a servítky sú odchýlky celkom znesiteľné, u kancelárskeho a lesklého papiera sú porovnateľné s nameranými hodnotami. Je to tým, že tieto papiere nenasali skoro nič. Namerané hodnoty sú na úrovni experimentálnej chyby (a záporný objem neviem namerať, preto mi nemohol vyjsť priemer 0).

Schopnosť látky nasávať vodu závisí od povrchového napätia medzi vodou a látkou a celkového povrchu látky. Syntetické vlákna mávajú obvykle menší povrch (sú menej chlpaté), preto nasajú menej ako prírodné. Hubka (a všelijaké zázračné utierky) majú veľký povrch, preto pijú ako dúha.

vzorkaobjemodchýlka
plátno4,7 ml1,1 ml
flanel1,5 ml0,64 ml
tričko2,6 ml0,34 ml
servítka0,76 ml0,14 ml
kancelársky papier0,77 ml0,53 ml
lesklý papier0,19 ml0,14 ml
hubka20,4 ml-

Bodovanie: 1b za uvedenie výsledkov, 2b za popis experimentu a vhodne zvolenú metódu (žmýkanie nie je dobré, časť vody ostáva v látke), 2b za rozumný pokus o vysvetlenie výsledkov.

Príklad E 3.5 ♥ 7, 8, 9, T, K - Vodná špirála (opravovala Majka Hanulová)

Zobrala som si drevenú paličku z mikáda a nakreslila som si na ňu polcentimetrové dieliky. Pustila som si tenký prúd vody z vodovodu a pomocou dielikov som sledovala, aký dlhý závit sa vytvoril. V tabuľke nájdete dĺžku prvého závitu, pretože každý ďalší závit bol o kúsok dlhší (voda už tiekla rýchlejšie). Špirálu sa mi nepodarilo vytvoriť pri uhloch menších ako 40° a väčších ako 80°. Uhol, ktorý som merala, je nakreslený na obrázku. Skúšala som aj striekať na paličku vodu z fľaše od Jari. V tomto prípade boli závity kratšie (pri 30° asi 1 cm) a málo sa menili, preto sa s mojimi polcentimetrovými dielikmi nedali dobre odmerať. Prečo sú závity pri menších uhloch menšie? Na vodu pôsobia dve sily - príťažlivá sila medzi molekulami paličky a vodou a gravitačná.

Príťažlivá sila bráni vode odtrhnúť sa od paličky a gravitačná sila ju urýchľuje. Čím väčší je uhol, tým väčšia je zložka gravitačnej sily v smere paličky, a preto voda tečie v smere paličky rýchlejšie. Záleží aj od uhla, pod ktorým voda dopadá na paličku. Vidno to na obrázku - pri väčších uhloch dopadne voda viac v smere paličky, preto sa väčšia časť jej rýchlosti použije na pohyb po paličke.

uholdĺžka závitu - vodovod
40°3 cm
60°3,5 cm
70°4 cm
80°5 cm

Bodovanie: 3,5b za popis experimentu a výsledky; 1,5b za zhodnotenie a pokus o vysvetlenie výsledkov

Príklad V 3.6 ♥ 8, 9, K - Žiarovky (opravoval Peter Pitkin Beňa)

Jediné možné zapojenie žiaroviek do siete s napätím 220 V, samozrejme bez použitia iných súčiastok, je uvedené na obrázku. Dve 50 W žiarovky sú zapojené paralelne a 100 W žiarovka je s nimi v sérii. Cez 100 W preteká prúd I3, cez 50 W prúdy I1 a I2. Pri paralelnom zapojení je vo vetvách rovnaké napätie. Pre odpor žiaroviek platí R = U2 / P. Ak sú teda napätie a výkony dvoch 50 W zhodné, musia byť ich odpory zhodné. Pre delenie prúdu v uzle platí: I3 = I1 + I2. Pre delenie prúdu medzi vetvami I1 = I2  . R2 / R1. Keďže R1 = R2, aj I1 = I2. Teda I3 = 2 . I1. Cez 100 W žiarovku preteká dvojnásobný prúd ako cez 50 W. Pomocou vzťahu P = U . I môžeme dokázať, že napätie na všetkých žiarovkách je 110 V. Ak totiž prúd pretekajúci cez 100 W žiarovku je dvojnásobný ako prúd pretekajúci cez 50 W, a 100 W žiarovka má dvojnásobný výkon, napätia musia byť rovnaké, lebo U = P / I a teda P3 / I3 = 2  P1 / 2 I1 = P1  / I1. Na každej žiarovke je napätie presne 110 V. Vypočítať prúdy nie je problém. P = U . I, a preto I = P / U. Tu už iba dosadíme napätie a výkon žiarovky a dostaneme I3 = 100 W / 110 V = 0,9 A a I1 = 50 W / 110 V = 0,45 A.

Hodnotenie: 1 bod za správne zapojenie + 0,5 bodu za vzťahy medzi napätím vo vetvách, 1 bod ak ste vedeli, že súčet prúdov vtekajúcich a vytekajúcich z uzla je rovnaký + 0,5 bodu za vzťah pre vyjadrenie výkonu pomocou napätia, a po 1 bode za správne výsledky.

Príklad V 3.7 ♥ 7, T, K - Spojené nádoby (opravovala Baška Trubenová)

Ani by ste netušili, aký zákerný môže tak nevinne vyzerajúci príklad byť. Len sa otočíte a šup, už sa ukazuje krásne, zvodné, no nesprávne riešenie. Z tých, čo ste sa nedali nachytať, by som chcela pochváliť Jura Cvika, ktorého riešením som sa inšpirovala.

Najprv sa pozrime na najmenšiu nádobku (nazvime ju A) plávajúcu v prostrednej (B). Pre tých, ktorý ste zapochybovali o jej plávacích schopnostiach odporúčam urobiť si pokus. Často ste neverili ani tomu, že hladina v menšej môže byť vyššie ako hladina vo väčšej nádobke, tak vám odporúčam výlet zaoceánskou loďou s bazénom alebo pokus vo vani s polystyrénovou krabicou. Vráťme sa však k A a B. Označme si hmotnosť nádoby A ako M, objem doliatej vody ako Vd, obsah podstavy A ako SA, obsah podstavy B ako SB, hĺbku ponorenia A pred doliatím vody ako h a zmenu hĺbky ponorenia A po doliatí vody voči hladine v B ako hA. A pláva na hladine, preto musí byť gravitačná a vztlaková sila v rovnováhe.

Fg = Fvz . M .&nbs p;g = V . ρ . g, kde V = SA . h
Po doliatí vody musí znova nastať rovnováha, čiže
(M + Vd . ρ) . g =  SA . (h+hA) . ρ . g.
Z toho zistíme, že hA = Vd / SA = 0,3 l / 100 cm2 = 300 cm3 / 100 cm2 = 3 cm.
S týmto výsledkom ste sa mnohí uspokojili, čo bola zákernosť tohoto príkladu. Treba si uvedomiť, že celkový ponor je zložený z poklesnutia nádobky A o x voči dnu B a zo zvýšenia hladiny vody v B o y voči dnu B - tá voda sa predsa musela niekam podieť! Pomer týchto dvoch častí závisí od plochy nádob. Aký objem nádoba A vytlačí, taký sa musí v nádobe B zdvihnúť.
SA . x = (SB-SA) . y.
Keďže SA = 100 cm2 a SB = 200 cm2, platí x = y, čiže
hA = x + y = 2x

Dno nádobky A teda klesne o 3 cm / 2 = 1,5 cm.
To isté sa stane s nádobkou B v najväčšej nádobe (C). Označme si obsah podstavy C ako SC a zmenu hĺbky ponorenia B po doliatí vody voči hladine v C ako hB. Podľa tých istých vzorcov znova vypočítame hB = 1,5 cm, a znova musíme uvažovať vytlačenie vody. Označme si hĺbku poklesnutia nádoby B vzhľadom na zem ako y a zvýšenie hladiny C vzhľadom na zem ako z.
SB . y = (SC-SB) . z.
Keďže SB = 200 cm2 a SB = 300 cm2, platí 2y = z, čiže hB= y + z = y + 2y = 3y.
B (aj s A) teda poklesne o 1,5 cm / 3 = 0,5 cm.
Najmenšia nádobka nám teda voči podložke klesla o presne H = 1,5 + 0,5 = 2 cm.

Bodovanie: Za vábivý výsledok H = 4,5 cm, na ktorý ste sa mnohí dali zviesť, ste si zaslúžili 3,5-3,8 bodu. Dali sa získať prémie za spomenutie všelijakých možných extrémnych prípadov, vlastností a hmotností nádob či zaujímavých postrehov. Za výsledok H = 2 cm ste mohli získať krásnych 5 bodov, no časti z nich poutekali v prípade drobných chybičiek alebo nie celkom správnych postupov.

Druhá šanca V 2.5 ♥ 7, T, 8, K, 9 - Záhada miznúceho špendlíka (opravovala Irinka Malkin)

Zamyslime sa nad tým, aký je tlak na pokrievku v prípade, že hrniec má tvar ako v zadaní. Označme si výšku stĺpca vody ako hv, plochu pokrievky ako S a hustotu vody ako ρv. Hydrostatický tlak vody na pokrievku bude pv = hv.ρv.g. Taký istý tlak vo valcovom hrnci s plochou pokrievky S by vyvolala voda hmotností mv = S .hv. ρv. Voda vo valcovom hrnci vyvoláva tlak pv = hv.ρv.g  = mv.g/S. Závažie vyvoláva tlak pz = 1 kg.g/S. Ak by sme naliali 1 kg vody do valcového hrnca s plochou pokrievky S, bola by hladina vody nižšie ako v našom hrnci, lebo náš hrniec sa zužuje. To znamená, že mv je určite väčšia ako 1 kg. Porovnaním tlakov pv a pz, vidíme, že závažie vyvoláva menší tlak ako voda. Keďže nepoznáme najväčší tlak, pri ktorom pokrievka ešte neodpadne, nevieme, či pokrievka odpadne, ak je v hrnci závažie. Zostalo nám porovnať tlak, ktorý vyvolal olej, s tlakom ktorý vyvolala voda. Označme si výšku stĺpca oleja ako ho a hustotu oleja ρo. Hydrostatický tlak oleja na pokrievku bude pv = ho.ρo.g . Porovnajme teraz pv a po. Označme si objem, ktorý zaberá 1 kg vody, ako Vv. Rovnaké množstvo oleja zaberá objem Vo= Vv. ρv / ρo. Keďže náš hrniec sa zužuje, platí ho / hv > Vo /  Vv = ρv / &rhp;o, a teda ho. ρo > ρv . hv
Vidíme teda, že po > pv. Keď do hrnca nalejeme olej, pokrievka určite odpadne.

Bodovanie: 1 b. za uvedomenie si závislostí tlaku na pokrievku od tvaru hrnca; 1 b. za správne nakreslenie síl pôsobiacich na vodu v hrnci; 1 b. za porovnanie tlaku závažia a vody; 2 b. za porovnanie tlaku vody a oleja; ak ste počítali s hrncom tvaru valca max. 2 body; ak ste urobili iba pokus, tiež max. 2 b.