Príklad 1 (opravovala Irinka Malkin)

Nech jachta má dĺžku l_j a parníček dĺžku l_p. Ďalej si rýchlosť jachty označíme v_j a rýchlosť parníčku v_p. Zapíšeme zadania pomocou rovníc:

Jachta musí za 70 s prejsť vzdialenosť o ktorú sa posunie parníček a navyše celú jeho dĺžku a celú svoju dĺžku

70s . vj

=

70s . vp + lj + lp

Vzdialenosť medzi loďami po 14 s od stretnutia prov bude l_p + l_j

14s . vj + 14s . vp

=

lp + lj

Tieto rovnice sa dajú zapísať aj takto:

70s . (vj - vp)	=	lp + lj
14s . (vj + vp)	=	lp + lj

Teda platí:

70s . vj - 70s . vp	=	14s . vj + 14s . vp
(70s - 14s) vj	=	(70s + 14s)vp

Odtiaľ:

vj

=

84s/56s . vp

=

1,5vp

Teda jachta ide 1,5krát rýchlejšie než parník. Keby sme poznali dĺžky, vedeli by sme určiť rýchlosti z rovníc

14s(vp + 1,5vp)

=

14s . 2,5vp

=

lj + lp

vp	=	(lj + lp)/35s
vj	=	1,5 vp = 3(lj + lp)/70s

Príklad 2 (opravovala Elenka Malkin)

Keď loď pláva po jazere, má vzhľadom na breh rýchlosť v₂. Rýchlosť sa spočíta vzťahom v = s/t, takže čas, za ktorý loď prejde po jazere tam a späť (dráha 2s) je t_J = 2s/v2.

Keď loď pláva o prúde rieky, pomáha jej prúd vody rýchlosťou v₁, preto bude rýchlosť lode vzhľadom na breh v₂ + v₁. Čas, za ktorý loď prejde tento úsek, je t₁ = s/(v₂ + v₁). Podobne, keď loď ide proti prúdu, voda ju brzdí a rýchlosť lode vzhľadom na breh bude v₂ - v₁. Čas, za ktorý prejde tento úsek, je t₂ = s/(v₂ - v₁).

Celkový čas plavby po rieke bude súčet času tam t₁ a času naspäť t₂,

tR	=	s/(v2 + v1) + s/(v2 - v1)	=	2 s v2 /(v22 - v12)
tR - tJ	=	2 s v2/(v22 - v12) - 2s/v2	=	2 s v12/v2(v22 - v12)

Keby v₁>v₂, loď by vôbec nemohla vyplávať proti prúdu rieky a úloha by nemala zmysel. Takže (v₂₂ - v₁₂) > 0. Zrejme celý zlomok Δt = t_R - t_J > 0. Z toho jasne vidíme, že t_R>t_J. - cesta riekou trvá dlhšie - práve o Δt.

Na prvý pohľad sa možno zdalo, že pomoc a brzdenie rieky sa navzájom zrušia, ale nie je to pravda. Za také riešenie som dávala 2,5b. Háčik je v tom, že stredná rýchlosť sa počíta ako celková dráha predelená celkovým časom (teda NIE ( {( v₂ + v₁) + (v₂ - v₁)}/2!). Ináč povedané, cesta proti prúdu trvá dlhšie ako cesta po prúde, a preto (v₂ - v₁) zaváži viac ako (v₂ + v₁).

Za vyriešenie len konkrétneho príkladu (s konkrétnymi číslami) som dávala 4,8b. Ak ste nevypočítali Δt, dostali ste 4,9b. Za spomenutie prípadu rieky rýchlejšej ako loď do +1b.

Príklad 3 (opravovala Irinka Malkin)

V tomto príklade si treba uvedomiť, že nedokážeme zistiť, či sa hýbeme priamočiaro konštantnou rýchlosťou, alebo stojíme na mieste v uzavretej kocke (keď nemáme okná). Všetky fyzikálne pokusy dopadnú rovnako. To znamená, že na tom, aby sme zistili, akou rýchlosťou sa pohybujeme, musíme sa porovnávať s vonkajšou vzťažnou sústavou. Keď sa povie, že vlak sa hýbe rýchlosťou 50 km/h, je to rýchlosť vzhľadom na Zem. Ak naša rýchlosť je v a porovnávame sa s pomalším vlakom idúcim rýchlosťou v_s, bude sa nám zdať, že sa pohybujeme rýchlosťou v - v_s. ak ideme rovnakým smerom, alebo v + v_s, ak ideme opačným smerom (teda rýchlejšie). Keď sa znovu začneme porovnávať s krajinou, bude sa nám zdať, že ideme rýchlejšie ako predtým, ak sme predbiehali a pomalšie ako predtým, ak sme išli opačným smerom.

Príklad 4 (opravoval Michal Frankie Hanula)

Ako všetci iste vieme, pre rovnomerný pohyb platí, že v = s/t, kde v je rýchlosť a s je dráha prejdená za čas t.

Tým nám z problému ostáva už len meranie prejdenej vzdialenosti. Čím presnejšie, tým viac bodov.

Príklad 5 (opravoval AndyŠramko)

Zistíme aká vztlaková sila pôsobí na kladu, keď je úplne ponorená. Tá sa rovná tiaži kvapaliny vytlačenej telesom. F_g = ρ_v.V.g

Hustota vody	-	rv	=	1000 kg.m-3
Tiažové zrýchlenie	-	g	=	10 m.s-2
Objem (valca)	-	V	=	Sp . v = t.r2.v

r	=	0,15 m
τ	=	3,14 s
v	=	3,5 m
V	=	0,2472 m3
Fgv	=	2472 N

Zistíme tiaž klady F_gk = ρ_k.V.g

Hustota dreva

-

ρk

=

700 kg.m-3

V	=	0,2472 m3
Fgk	=	1730 N

Po odčítaní týchto síl zistíme, akou silou môžeme pôsobiť ešte na kladu, aby sa nepotopila (kedy výslednica skladania gravitačnej a vztlakovej sily je 0. Ak je záporná, klada sa ponorí).

Fgč	=	Fgv - Fgk
Fgč	=	742 N

Tiaž človeka postaveného na klade môže byť 742 N a tá zodpovedá hmotnosti 74,2 kg.

Príklad 6 (opravovala Maja Hanulová) .

Petrolej sa s vodou nemieša, teda v sude bude vrstva vody a na nej vrstva petroleja. Petrolej bude hore, lebo má menšiu hustotu ako voda (petrolej okolo 800 kg/m³, voda 1000 kg/m³). Vezmeme si špagátik dlhý zhruba ako výška suda, na jeden jeho koniec priviažeme gumu, na druhý maticu. Chytíme gumu na nepriviazanom konci a pomaly ponárame maticu do suda. Nesmieme ponoriť gumu a matica musí byť celá ponorená. Maticu ťahá dole gravitačná sila a hore tlačí vztlaková sila, ktorá je úmerná objemu matice a hustote kvapaliny. Pretože voda má väčšiu hustotu ako petrolej, bude maticu viac nadnášať. Všímame si dĺžku gumy. V sude s petrolejom bude stále rovnako dlhá - sily na maticu sa nemenia. V sude s vodou a petrolejom sa guma skráti, keď matica klesne až do vody, lebo sa zväčší vztlaková sila.

Bodovanie: voda a petrolej sa nemieša: 1b; nápad ako merať: 2b; vysvetlenie princípu merania: 2b; za nepresnosti alebo mylné výroky: do -2b

Príklad 7 (opravovala Maja Hanulová)

Uvediem tri najlepšie spôsoby, na ktoré som natrafila.

1. Postavíme loptu na zem, vedľa nej zvisle kolmo na zem pravítko. Dĺžka od zeme po bod dotyku lopty a pravítka je polomer lopty. Musíme si dať pozor, ak číslovanie pravítka nezačína od okraja pravítka a patrične výsledok prispôsobiť.
2. Na lopte si vyberieme bod, najlepšie ventil a kotúľame loptu po pravítku, tak aby sme sa prekotúľali celým obvodom a vrátili sa späť do vybraného bodu. Takto odmeriame obvod lopty, z čoho pomocou vzťahu obvod = π × priemer vypočítame priemer. Iný spôsob merania objemu je kotúľanie lopty po zemi alebo prikladanie pravítka na loptu.
3. Postavíme loptu na zem a k nej zvislo kolmo na zem priložíme pravítko. Odmeriame výšku lopty, napríklad priložením dlane alebo sa len pozrieme.

Najpresnejší spôsob merania je prvý, potom druhý a tretí. Tretí je o dosť horší ako prvé dva.

Bodovanie: prvý a druhý spôsob: 5b; tretí spôsob: 3,5b; iné, nie celkom fungujúce spôsoby: menej ako 2b; použitie iných vecí ako pravítka: 2b; prvý alebo druhý spôsob s použitím ceruzky: 4,5b

Príklad 8 (opravoval Roman Kováčik)

Tento príklad bol vcelku jednoduchý. Stačilo si uvedomiť, že počas doby trvania blesku sa vlak posunie o vzdialenosť s = v.t, kde v je rýchlosť vlaku a t doba trvania blesku. Táto vzdialenosť je po premenení rýchlosti na 20,8333... m/s 4,1666... mm. No a keďže oko dokáže v tomto prípade rozoznať posunutie veľké minimálne 1 cm, toto posunutie vlaku nie je schopné vnímať ako pohyb. Čiže oko bude vnímať stojaci vlak.