Vzorové riešenia 2. série letnej časti  

Príklad 1 (opravoval Michal Matejka)

Odpor v zapojení 1 predstavuje varič s určitým príkonom. Podľa toho, aký príkon variča požiadujeme, volíme odpor R. V obvode 1 platí : U=R . I, odkiaľ I = U / R. Zaroveň platí vzťah pre príkon: P=U . I . Z posledných dvoch vzťahovdostávame: R=U2 / P, čo je vzťah pre odpor zapojený na napätie U a s príkonom P. Príkonu P1 = 300W zodpoveda odpor R1=U2 / P1=484 / 3W, príkonu

P2=900W odpor R2=U2 / P2=484 / 9W , príkonu P3 = 1200W odpor R3 = U2 / P3 = 121 / 3W..

Teraz zostrojíme zapojenie s min. počtom odporov vybratých z odporov R1, R2, R3 takých, aby sme dosiahli všetky tri požadované príkony P1, P2, P3. Je zrejme, že zapojenie 2 s jediným odporom nevyhovuje, má nemeniteľný odpor R, a teda týmto zapojením dosiahneme len jedinú hodnotu príkonu P.

Ukážeme, že hľadaná schéma je zapojenie 3. Pre odpory Ra, Rb

zapojené paralelne platí:

1 / Rc=1 / Ra + 1 / Rb(*), potom odpor Rcbude odpor, ktorý bude zodpovedať kombinácii odporov v zmysle (*), ak spojím 1-2 a 1-3 súčasne. Potom už je jednoducho zistiť, že kombinácii Ra = R1 = 484 / 3W , Rb = R2 = 484 / 9W zodpovedá odpor Rc = (Ra . Rb )/( Ra+ Rb ) = 121 / 3W. . Teda ak spojím 1-2 , dostanem zapojenie 1 s odporom

R = R1, a teda aj príkon P1 , ak spojím 1-3 , dostanem zapojenie 1 s odporom R = R2, a teda aj príkon P2 , a ak spojím 1-2 a 1-3 súčasne, dostanem zapojenie 1, v ktorom s odporom R = R3 ,R3 je odpor, ktorým som nahradil paralelne zapojené odpory R1 , R2 , a teda aj príkon P3. Minimálny počet odporov je teda 2 a spojením 1-2, 1-3 alebo súčasne získam požadované príkony variča.

Príklad 2 (opravovala Irinka - Irina Malkin)

Na začiatok si zopakujeme kalorimetrickú rovnicu : Q= mc(T2 – T1) , kde Q je teplo potrebné na zohriatie látky s hmotnosťou m a tepelnou kapacitou c z teploty T1na teplotu T2. Ak zohrievame jednu tekutinu pomocou druhej platí m1c1(T1 – T)= m2c2(T – T2) , kde T je výsledná teplota. Ako tepelnú kapacitu vody budeme používať c = 4200J/ (kg.°C). Je známe, že 1 l vody zodpovedá 1 kg . Ľahko sa presvedčíme , že ak prevárame celú vodu naraz, energia ktorú nám dodá drevo stačiť nebude :
Q= mc(T2 – T1)=10 . 4200 . (100 – 20)=3,36 MJ je viac než 1,3 MJ, ktoré máme k dispozícii. Celý trik spočíva v tom, že vodu nemusíme prevariť naraz, ale môžeme to urobiť postupne. Rozlejme vodu do 10 nádob, do každej 1 liter. Do varu budeme postupne uvádzať vodu v jednotlivých nádobách: Najskôr uvaríme vodu v 1. nádobe.

nádoba

krok

    
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zmena teploty (°C) spotrebované teplo (kJ)
1 20,000 100,000 20,156 20,156 20,156 20,156 20,156 20,156 20,156 20,156 20,156 80,000 336,000
2 20,000 60,000 100,000 20,938 20,938 20,938 20,938 20,938 20,938 20,938 20,938 40,000 168,000
3 20,000 40,000 70,000 100,000 23,086 23,086 3,086 3,086 3,086 3,086 3,086 30,000 126,000
4 20,000 30,000 50,000 75,000 100,000 27,383 27,383 27,383 27,383 27,383 27,383 25,000 105,000
5 20,000 25,000 37,500 56,250 78,125 100,000 34,365 34,365 34,365 34,365 34,365 21,875 91,875
6 20,000 22,500 30,000 43,125 60,625 80,313 100,000 44,141 44,141 44,141 44,141 19,668 82,688
7 20,000 21,250 25,625 34,375 47,500 63,906 81,953 100,000 56,360 56,360 56,360 18,047 75,797
8 20,000 20,625 23,125 28,750 38,125 51,016 66,484 83,242 100,000 70,325 70,325 16,758 70,383
9 20,000 20,313 21,719 25,234 31,680 41,348 53,916 68,579 84,290 100,000 85,162 15,710 65,984
10 20,000 20,156 20,938 23,086 27,383 34,365 44,141 56,360 70,325 85,162 100,000 14,838 62,318
Spolu:

1184,044

Len čo dosiahne teplotu 100°C, ponoríme túto nádobu do 2. nádoby, kým sa teplota vody v oboch nádobách nevyrovná, potom 1. nádobu ponoríme do 3. nádoby, atď. až po 10. nádobu. Po tomto kroku máme v prvej nádobe prevarenú vodu (aj keď teraz má teplotu iba 20,156°C). V ostatných nádobách je voda teplejšia ako bola pôvodne. (Teploty vody v nádobách sú v tabuľke – krok 1.) V druhom kroku zohrejeme vodu v 2. nádobe (stačí o 40°C) a postupne ju povnárame do zvyšných nádob. Toto postupne zopakujeme pre 3., 4. ... 9. nádobu. 10. nádobu stačí potom zohriať o 14,838°C. Všetky údaje boli vypočítané pomocou kalorimetrickej rovnice. Keďže vodu nemiešame, prevarené časti zostavajú použiteľne (prevarené), aj keď sa ochladia.

V predposlednom stĺpci je teplota, o ktorú musíme vodu v jednotlivých nádobách zohriať na ohni, vždy v k-tom kroku zohrievame vodu v k-tej nádobe. V poslednom stĺpci je zodpovedajúce spotrebované teplo (vždy zohrievame 1liter=1kg vody). Na prevarenie celých 10l vody nám takýmto spôsobom drevo vystačí. (Spotrebujeme 1184,044 kJ.

Príklad 3

(opravoval Martin MH Hriňák)

Riešenie: Teplo, ktoré sa uvoľní pri ochladení žehličky na 0°C, je podľa kalorimetrickej rovnice rovné Q=mžehl.cmeď100°C. Označme hmotnosť roztopeného ľadu ako m. Potom musí platiť m.lľad=Q, lebo teplo odovzdané žehličkou sa spotrebovalo na roztopenie ľadu. Odtiaľ m= mžehl.cmeď100°C/ lľad . Dosadením lľad=334kJ/kg, mžehl.=0,5kg, cmeď=0,383kJ/kg, dostávame m»57,34g.

Komentár: Za výsledok 90-91g som dával 2 body. Za nepresné (resp. žiadne) označenie ste mohli stratiť 0,5 bodu, za prílišné zaokrúhľovanie tiež. Za riešenia bez slovného postupu ste mohli stratiť maximálne 2 body.

Príklad 4 (opravoval Michal Frankie Hanula)

Najťažšou časťou riešenia tohoto príkladu bolo pravdepodobne prečítanie zadania. Mne sa to podarilo až na druhý pokus, väčšine ľudí vôbec --- mysleli si, že majú zistiť, kam strom ohryzený bobrom spadne. Citujem zadanie:

Bobor prehrýzol strom celkom blízko pri zemi. Strom ostal zvislo stáť, až kým kmeň nebol úplne prehryznutý, potom naraz padol. Na ktorú stranu sa prehne padajúci kmeň?

Do úvahy prichádzajú dva spôsoby ohnutia 1. (budem mu hovoriť "vrcholom k zemi") a 2. (tomu budem, hovoriť (stredom k zemi).

Na kmeň stromu pôsobia 2 sily - gravitačná (pôsobí, samozrejme, v ťažisku) a reakcia pňa (kmeň tlačí silou na peň, peň teda musí tlačiť na kmeň). Gravitačná sila spôsobuje, že kmeň padá, reakcia pňa, ktorá pôsobí na spodný koniec kmeňa smerom hore, spôsobí jeho ohnutie smerom hore, čiže prehnutie kmeňa stredom k zemi.

Bodovanie:
Za riešenie problému "ktorým smerom bude padať strom" mohol byť maximálne jeden bod, aj to len keď toto riešenie bolo veľmi dobré (na rozdiel od väčšiny tých, ktoré sa zaoberali viac stromológiou a bobrológiou ako fyzikou). Za odhalenie pravej podstaty problému (čiže pochopenie zadania) boli 2 body, za správny výsledok 1 bod, za jeho vysvetlenie najviac 2 body.

Príklad 5 (opravovala Maja Hanulová)

Paralelné zapojenie n odporov je také, v ktorom sa môžeme z jedného konca na druhý dostať n cestami, pričom každá z nich prechádza práve jedným odporom a žiadnym odporom neprechádzajú dve cesty. Riešenie je nakreslené dole, pôvodné zapojenie je nakreslené tenšie, pridané drôty hrubšie. Dá sa to nakresliť aj s ináč poohýbanými drôtmi, ale to je jedno, dôležité je, kde sa drôty pripájajú.

So štyrmi odpormi sa úloha nedá vyriešiť. Funguje to len pre nepárny počet odporov.

Príklad 6 (opravoval Roman Kováčik) .

Hmotnosť kvapky závisí od povrchového napätia. Povrchové napätie je to, čo drží vodomerky, pavúky, drobné mince a žiletky na hladine vody. Toto povrchové napätie je zodpovedné aj za to, že máme možnosť tešiť sa z kvapiek, drží vodu akoby v obale, aby sa neroztiekla. No a toto povrchové napätie sa so zvyšujúcou teplotou znižuje. A čím je menšie povrchové napätie, tým menej vody dokáže udržať pohromade v tvare kvapky. Teda čím je voda studenšia, tým môže byť kvapka väčšia, teda mať väčšiu hmotnosť. Je síce pravda, že so zvyšujúcou teplotou sa hustota znižuje, ale táto zmena je zanedbateľná oproti zmene povrchového napätia..

Komentár k vašim riešeniam:
veľmi často sa vyskytovali riešenia založené práve na tom, že hustota sa mení s teplotou, je to pravda, ale nie je to hlavný dôvod. Za takéto riešenia som dával asi 1,5 b.
ďalšie riešenia boli obohatené o úvahu o neusporiadanom pohybe, ktorý sa zväčšuje s teplotou. Áno toto má vplyv na hmotnosť kvapiek, ale práve preto, že kvôli zvyšujúcemu sa pohybu častíc klesá povrchové napätie. 3 b.
za vážne nedostatky v riešení menej ako 1,5 b.

Príklad 7 (opravoval Roman Kováčik)

Pre plávajúcu guľu platí rovnováha gravitačnej sily a vztlakovej sily. Pre gravitačnú silu môžeme napísať FG = m.g = (V-VD).rAl.g kde V je objem celej gule a VD objem dutiny. Pre vztlakovú silu platí Fvz = Vp.r.g kde Vp je objem ponorenej časti gule a r hustota vody. Keďže je objem ponorenej časti gule V/2, platí (V-VD).rAl.g = V.r.g/2

čo po jednoduchých úpravách vyzerá takto VD = V(1-(r/rAl)/2) Po dosadení hodnôt V = 200 cm3, r = 1 g/cm3, rAl = 2,7 g/cm3 nám vyjde VD = 163 cm3.

Bodovanie:
za numerické chyby som strhával 0,5-1 b.
za závažné nedostatky ako napr. nesprávne použitie Archimedovho zákona (zarátanie celého objemu, použitie hustoty Al v Archimedovom zákone…) som strhával podľa závažnosti 2,5-4 b.
za úplne zlé alebo skoro úplne zlé riešenia som dával 0-1 b.

Príklad 8 (opravovala Elenka - Elena Malkin)

Počas 0,15 s , kým zvuk prešiel od víly ku stĺpu a naspäť k víle, víla nestála na mieste. Celý čas letela svojou rýchlosťou vv= 10m/s, a preletela vzdialenosť s1= vv . t.Vzdialenosťmedzi vílou a stĺpom v okamihu , keď sa zvuk vrátil, označíme s2.

Zvuk preletel celú pôvodnú vzdialenosť víly (smerom ku stĺpu) a ešte toľko, koľko jej ostalo na uhnutie ( cestou naspäť ). Celkovo teda zvuk preletel sz = (s1+ s2)+ s2= s1 + 2s2. Taktiež vieme, že zvuk letel svojou rýchlosťou vz = 346,6 m/s (približne). Preletel teda sz=vz . t= s1 + 2s2. ( Ak zanedbáme rýchlosť víly). Dosadíme vzorec s1= vv .t do našej rovnice: vz.t= vv  . t + 2s2. Z toho vyplýva, že s2 = ( vz - vv) . t / 2 . Keďže víla letí rýchlosťou vv ,a zostala jej vzdialenosť s2 zostane jej čas tu = s2 / vv = ( vz - vv) . t / (2vv).Po dosadení príslušných hodnôt približne vychádza tu = 2,5s.